Tổng quan
Không gì trừng phạt lối 'nhìn quy luật rồi đoán' như dãy số này. Năm số đầu nhân đôi hoàn hảo, và số thứ sáu lặng lẽ từ chối.
Cách giải 1, 2, 4, 8, 16, …? từng bước
- Hãy ngừng ngoại suy và đếm những gì hình vẽ thực sự chứa.
- Bắt đầu với một miền (hình tròn rỗng). Mỗi dây cung thêm vào chia miền ra, và mỗi giao điểm bên trong cũng vậy.
- Một dây cung cần 2 điểm và một giao điểm cần đúng 4 điểm, nên r(n) = 1 + C(n,2) + C(n,4).
Mấu chốt
Lũy thừa của hai và 1 + C(n,2) + C(n,4) trùng nhau với n ≤ 5 hoàn toàn do tình cờ, vì C(n,4) khi đó còn rất nhỏ. Từ n = 6 đa thức tăng chậm hơn hàm mũ rất nhiều, và ảo giác sụp đổ.
Biến thể & liên hệ
- Cái bẫy tương tự xuất hiện trong các câu 'số tiếp theo' của bài kiểm tra IQ: một số hữu hạn các số hạng không bao giờ xác định được một dãy.
- Hãy thử đếm số miền với n = 7 (57) và n = 8 (99) để cảm nhận đa thức chiếm thế thượng phong.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao 32 lại sai khi quy luật quá rõ ràng?
Vì nhân đôi chưa bao giờ là quy luật — đó chỉ là sự tình cờ về số của năm trường hợp đầu. Quy luật thật mang tính hình học, và nó cho ra 31.